超声——圆形活塞声场

Author： Mythbird
发布时间：April 20, 2025
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Categories：知识超声

AI摘要：本文详细分析了圆形活塞声场的声压分布，包括远场和近场的情况。在远场，通过近似计算得到了声压的表达式，并引入了贝塞尔函数。在近场，分析了中心轴上的声场，得到了声压的表达式，并讨论了临界距离的概念。文章还提供了指向性的计算代码和图表，帮助理解声场的指向性特性。

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超声——圆形活塞声场

圆形活塞如下图所示。

圆形活塞

将每个小面元看做点声源，其在p点的声压就是整个圆面的点声源声压的积分。根据之前的球面声场：假设Q为声源强度（体积速度）为：$Q=u_a S$，可知小面元的声源强度为：$dQ_0=u_adS$。

对于图中声源到观测点的距离为h，故半空间点声源的声压为：$p=j\frac{\rho_0C_0kQ}{2\pi h}e^{j(wt-kh)}$，对于小面元则为：$dp=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi h}dQ_0e^{j(wt-kh)}$。

P点为观察点，位于xoz平面内。

远场

对于远场，由于r>>a，a就是图中的$\sigma $。可推导出h的近似值。

根据三维空间向量计算公式，x、y、z轴的单位向量为：$\overrightarrow{i} ,\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$，则可得：

$\overrightarrow{r} =|r|(cos\theta \overrightarrow{k}+sin\theta \overrightarrow{i})$

$\overrightarrow{\sigma } =|\sigma |(cos\varphi \overrightarrow{i}+sin\varphi \overrightarrow{j})$

$\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{\sigma }=|r|(cos\theta \overrightarrow{k}+sin\theta \overrightarrow{i})\times |\sigma |(cos\varphi \overrightarrow{i}+sin\varphi \overrightarrow{j})=|r||\sigma| (sin\theta cos\varphi )$

则h为:$\overrightarrow{h} =\overrightarrow{r} -\overrightarrow{\sigma } $

$|h|=\sqrt{r^2+\sigma^2-2\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{\sigma }}=\sqrt{r^2+\sigma^2-2|r||\sigma| (sin\theta cos\varphi )}=r\sqrt{1+\frac{\sigma^2}{r^2}-\frac{2 \sigma}{r}sin\theta cos\varphi}$

由于r>>a（或者σ），故$\frac{\sigma^2}{r^2} \approx 0$，所以：

$|h|=r\sqrt{1-\frac{2 \sigma}{r}sin\theta cos\varphi}$

对后式子进行泰勒展开，比如$(1+x)^n=1+nx+...$，当|x|<<1时可以忽略二阶项，故上式为：

$|h|=r(1-\frac{1}{2}\frac{2 \sigma}{r}sin\theta cos\varphi)=r-\sigma sin\theta cos\varphi$

对dp进行积分可得p点的声压为：

$p=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi h}\int dQ_0e^{j(wt-kh)}=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi h} \int u_a dS e^{j(wt-kh)}=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi h} u_a e^{j(wt-kh)} \int dS $

其中在远场$h\approx r$，故分母的h可以换成r，但是e的不能直接换。则为：

$p=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi r} u_a e^{j(wt-kh)} \int dS =j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi r} u_a e^{j(wt-kr+k\sigma sin\theta cos\varphi)} \int dS=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi r} u_a e^{j(wt-kr)} \int e^{k\sigma sin\theta cos\varphi}dS$

环形圆弧的周长为:$\int dl=\int \sigma d \varphi$

环形圆弧的面积微分为:$dS=d\sigma \int dl=d\sigma \int\sigma d\varphi$

则p为：

$p=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi r} u_a e^{j(wt-kr)} \int e^{jk\sigma sin\theta cos\varphi}dS=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi r} u_a e^{j(wt-kr)} \int e^{jk\sigma sin\theta cos\varphi}d\sigma \int\sigma d\varphi$

最终为：

$p=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi r} u_a e^{j(wt-kr)} \int \sigma d\sigma \int e^{jk\sigma sin\theta cos\varphi}d\varphi$，其中σ的积分范围为0~a，φ的范围为0~2π。

根据贝塞尔函数可知：

$J_0(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} e^{jxcos \varphi}d \varphi $

$\int x J_0(x)dx=xJ_1(x)$

则上式中$\int e^{jk\sigma sin\theta cos\varphi}d\varphi$改为贝塞尔函数，其中$x=k\sigma sin \theta$，代入为：

$J_0(k \sigma sin \theta)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} e^{jk \sigma sin \theta cos \varphi}d \varphi$

则 $dx=k\sin\theta d\sigma$ ，$\sigma=\frac{x}{k\sin\theta}$

当 $\sigma = 0$时，$u = 0$ ；当 $\sigma = a$ 时，$u = ka\sin\theta$，则

$2\pi\int_{0}^{a}\sigma J_0(k\sigma\sin\theta)d\sigma=2\pi\int_{0}^{ka\sin\theta}\frac{x}{k\sin\theta}J_0(x)\frac{dx}{k\sin\theta}=\frac{2\pi}{k^{2}\sin^{2}\theta}\int_{0}^{ka\sin\theta}xJ_0(x)dx$

由 $\int xJ_0(x)dx = xJ_1(x)$ 可得：

$\frac{2\pi}{k^{2}\sin^{2}\theta}\int_{0}^{ka\sin\theta}xJ_0(x)dx=\frac{2\pi}{k^{2}\sin^{2}\theta}\left[xJ_1(x)\right]_0^{ka\sin\theta}=\frac{2\pi}{k^{2}\sin^{2}\theta}\times ka\sin\theta J_1(ka\sin\theta)=\frac{2\pi a}{k\sin\theta}J_1(ka\sin\theta)$

于是声压变为：

$p=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi r} u_a e^{j(wt-kr)} \int \sigma d\sigma \int e^{jk\sigma sin\theta cos\varphi}d\varphi=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi r} u_a e^{j(wt-kr)}\frac{2\pi a}{k\sin\theta}J_1(ka\sin\theta)$

$p= j\frac{\rho_0C_0ka^2}{2 r} u_a e^{j(wt-kr)}\frac{2J_1(ka\sin\theta)}{ka\sin\theta}$

其中，$k=\frac{2\pi}{\lambda},c=\lambda f,w=2\pi f$，推导出$ck=2\pi f=w$，代入上式为：

$p= j\frac{\rho_0wa^2}{2 r} u_a e^{j(wt-kr)}\frac{2J_1(ka\sin\theta)}{ka\sin\theta}=jw\frac{\rho_0u_aa^2}{2 r} [\frac{2J_1(ka\sin\theta)}{ka\sin\theta}]e^{j(wt-kr)}$

对于圆面活塞，面积为$S=\pi a^2$，则$Q=u_a S=u_a \pi a^2$，代入上式则为：

$p=jw\frac{\rho_0Q}{2 \pi r} [\frac{2J_1(ka\sin\theta)}{ka\sin\theta}]e^{j(wt-kr)}$

径向速度为：

$v_r=-\frac{1}{jw\rho_0}\frac{\partial p}{\partial r}$

其中p对r的偏导为：$\frac{\partial p}{\partial r}=\frac{\partial A \frac{e^{j(wt-kr)}}{r}}{\partial r}$，A表示其他不与r相关的式子。求得：

$\frac{\partial p}{\partial r}=Ae^{jwt}\frac{\partial \frac{e^{-jkr}}{r}}{\partial r}=Ae^{jwt}[-jke^{-jkr}\frac{1}{r}+e^{-jkr}\frac{-1}{r^2}=-A\frac{e^{j(wt-kr)}}{r}[jk+\frac{1}{r}]=-p[jk+\frac{1}{r}]$

$v_r=-\frac{1}{jw\rho_0}-p[jk+\frac{1}{r}]=-\frac{1}{jC_0k\rho_0}-p[jk+\frac{1}{r}]=\frac{1}{C_0\rho_0}[1+\frac{1}{jkr}]p$

法向声强为：

$I=\frac{1}{T}\int_0^{T}Re_p Re_{v_r}dt=\frac{1}{8}\rho_0c_0u_a^2(ka)^2\frac{a^2}{r^2}[\frac{2J_1(kasin\theta)}{kasin\theta}]^2$

指向性

定义为：保持场点与声源的距离不变，任意$\theta$方向的场点声压幅值与这个距离上最大声压幅值之比。

$D(\theta)=\frac{P_a(\theta)}{P_a(\theta)|_{\theta=0}}$

θ=0时，$\frac{J_1(0)}{0}=\frac{1}{2}$，则上式为：

$D(\theta)=|\frac{\frac{2J_1(ka\sin\theta)}{ka\sin\theta}}{1}|=|\frac{2J_1(ka\sin\theta)}{ka\sin\theta}|$

当ka<1时，x趋近于0，D(θ)趋近于1，则$p=\frac{jw\rho_0Q}{2\pi r}e^{j(wt-kr)}$，任意方向的声压幅值相同，说明辐射是均匀的，指向性为一个圆。

声强为$I=\frac{1}{8}\rho_0c_0u_a^2(ka)^2\frac{a^2}{r^2}$

指向性的代码如下所示¹。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import j1  # 导入一阶贝塞尔函数

def calculate_D(ka_product, start=-np.pi/2, stop=np.pi/2, num=1000):
    """计算指向性函数
    参数：
        ka_product: k和a的乘积
        start: 起始角度（默认0.0001避免除零）
        stop: 终止角度（默认π）
        num: 采样点数
    返回：
        theta数组和D数组
    """
    theta = np.linspace(start, stop, num)  # 生成角度数组
    numerator = (2 * j1(ka_product * np.sin(theta)))  # 分子保持不变
    denominator = ka_product * np.sin(theta)
    return theta, (numerator / denominator)  # 返回计算结果

# 绘图
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='polar')  # 创建极坐标轴
theta, D = calculate_D(ka_product=3) 
D = np.abs(D)
ax.plot(theta, D)                             # 在极坐标中绘制
ax.set_xlabel(r'$\theta$')                    # 角度轴标签
ax.set_title(r'ka=1',loc='left')     # 更新标题
ax.grid(True)
plt.show()

# 绘图
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(12, 12),  # 新增figsize参数调整整体尺寸
                        subplot_kw={'projection': 'polar'})
ka_values = [1, 3, 4, 10]

for ax, ka in zip(axes.ravel(), ka_values):
    theta, D = calculate_D(ka_product=ka)
    D = np.abs(D)
    ax.plot(theta, D)
    ax.set_title(f'ka={ka}', pad=15,loc='left')  # 新增loc参数设置标题位置
    ax.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

# 新增笛卡尔坐标系绘图
plt.figure(figsize=(8, 6))  # 新建画布
for ka in ka_values:
    theta, D = calculate_D(ka_product=10,start=0.0001,stop=np.pi*2,num=1000)
    x = np.abs(ka * np.sin(theta))
    plt.plot(x, D, label=f'ka={ka}')
   
    # 新增过零点检测
    zero_crossings = np.where(np.diff(np.sign(D)))[0]  # 检测符号变化点
    if len(zero_crossings) > 0:
        x_zeros = x[zero_crossings] + np.diff(x)[zero_crossings] * (-D[zero_crossings]/(D[zero_crossings+1] - D[zero_crossings]))
        plt.scatter(x_zeros, np.zeros_like(x_zeros), color='red', marker='x', s=50, zorder=5, label='Zero Crossing')
        
        # 新增数值标注
        for xz in x_zeros:
            plt.text(xz, -0.05, f'{xz:.2f}',  # 向下偏移0.05避免重叠
                    ha='center', va='top', 
                    rotation=45, fontsize=8,
                    color='red')

# 添加图例去重处理
handles, labels = plt.gca().get_legend_handles_labels()
by_label = dict(zip(labels, handles))
plt.xlabel(r'kasin($\theta$)')
plt.ylabel(r'$\frac{2J_1(kasin(\theta))}{kasin(\theta)}$', rotation=0)
plt.legend(by_label.values(), by_label.keys())
plt.grid(True)  
plt.tight_layout()
plt.show()

ka=10

ka=10，表示：$ka=\frac{2\pi}{\lambda}a=10$，即$a=1.6\lambda$。半径越大，主极的夹角越小，指向性越强。

近场

近场研究的是中心轴上的声场，即x轴。观察点P在x轴上，不再是xoz平面上。则θ=0。

远场针对h做了近似。

由于r>>a（或者σ），故$\frac{\sigma^2}{r^2} \approx 0$，所以：

$|h|=r\sqrt{1-\frac{2 \sigma}{r}sin\theta cos\varphi}$

近场时，r不是远大于a，使用z表示r。由于θ=0，上式变为：

$|h|=\sqrt{z^2+\sigma^2-2\overrightarrow{z} \times \overrightarrow{\sigma }}=\sqrt{z^2+\sigma^2-2|z||\sigma| (sin\theta cos\varphi )}=\sqrt{z^2+\sigma^2}$

对于活塞上所取的环元$\sigma$到$\sigma+d\sigma$，由于$d\sigma<<\sigma$，故可以认为环元上所有点到观测点P的距离基本一样，即|h|一样。

对dp进行积分可得p点的声压为：

$p=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi h}\int dQ_0e^{j(wt-kh)}=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi h} \int u_a dS e^{j(wt-kh)}=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi h} u_a e^{j(wt-kh)} \int dS $

环元面积为：$dS=d\sigma \int dl=d\sigma \int\sigma d\varphi=\sigma d\sigma \int d\varphi=\sigma d\sigma 2\pi=2\pi\sigma d\sigma$

$p=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi h} u_a e^{j(wt-kh)}\int_0^{a} 2\pi\sigma d\sigma$

由于$h^2=z^2+\sigma^2$，则$\frac{\partial h^2}{\partial \sigma}=2\sigma$

$\frac{\partial h^2}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial \sigma}=2\sigma$

$2h\partial h=2\sigma\partial \sigma$

推导出：$dS=2\pi\sigma d\sigma=2\pi h\partial h$

σ=0时，h=z；σ=a时，h=R=$\sqrt{z^2+a^2}$

故p为：

$p=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi h} u_a e^{j(wt-kh)}\int_0^{a} 2\pi\sigma d\sigma=j\rho_0C_0ku_ae^{jwt}\int_z^Re^{-jkh}dh$

$p=j\rho_0C_0ku_ae^{jwt}[\frac{1}{-jk}e^{-jkh}|_z^R]=-\rho_0C_0u_ae^{jwt}[e^{-jkR}-e^{-jkz}]=-\rho_0C_0u_ae^{jwt}e^{-jk\frac{z+R}{z}}[e^{jk\frac{z-R}{2}}-e^{-jk\frac{z-R}{2}}]$

根据sin的欧拉公式：$sin\theta=\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j}=-j\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2}=-e^{j\frac{\pi}{2}}\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2}$，最终推导p为：

$p=2\rho_0C_0u_a sin(k\frac{R-z}{2})e^{j(wt-k\frac{R+z}{2}+\frac{\pi}{2})}$

当z很小时，在$k\frac{R-z}{2}=n\pi$时，p=0；在$k\frac{R-z}{2}=n\pi+\frac{\pi}{2}$时，p最大。

$R-z=\sqrt{z^2+a^2}-z=z[\sqrt{1+\frac{a^2}{z^2}}-1]$

当z>2a时，通过特勒展开，得到$\sqrt{1+(\frac{a}{z})^2}=1+\frac{1}{2}(\frac{a}{z})^2$，上式变为：

$R-z=z[\sqrt{1+\frac{a^2}{z^2}}-1]=z[\frac{1}{2}(\frac{a}{z})^2]=\frac{a^2}{2z}$

则$sin(k\frac{R-z}{2})=sin(\frac{2\pi}{\lambda}\frac{a^2}{4z})=sin(\frac{\pi}{2}\frac{a^2}{\lambda z})$

设定$z_g=\frac{a^2}{\lambda}$，上式为：$sin(\frac{\pi}{2}\frac{z_g}{z})$

在z=zg位置，幅值最大；z>zg后不再有极大值。

z>2a时的轴声压为：

$p=2\rho_0C_0u_a sin(\frac{\pi}{2}\frac{a^2}{\lambda z})e^{j(wt-k\frac{R+z}{2}+\frac{\pi}{2})}=2\rho_0C_0u_a sin(\frac{\pi}{2}\frac{z_g}{ z})e^{j(wt-k\frac{R+z}{2}+\frac{\pi}{2})}$

$z_g=\frac{a^2}{\lambda}$为从近场过渡到远场的临界点，其值为临界距离。其中a为活塞半径，也称为孔径。如果是环状的则是内外半径的平方差。

可见活塞半径越大，临界距离越大。

Reference

Notebook ↩

Last modification：May 3, 2025

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超声——圆形活塞声场

Mythbird • 2025 年 04 月 20 日

<blockquote class="aisummary">AI摘要：本文详细分析了圆形活塞声场的声压分布，包括远场和近场的情况。在远场，通过近似计算得到了声压的表达式，并引入了贝塞尔函数。在近场，分析了中心轴上的声场，得到了声压的表达式，并讨论了临界距离的概念。文章还提供了指向性的计算代码和图表，帮助理解声场的指向性特性。 Powered by <a href='https://idealclover.top/archives/636/'>AISummary</a>.</blockquote><h1>超声——圆形活塞声场</h1>圆形活塞如下图所示。<img src="https://mythidea.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/usr/uploads/%7Byear%7D/%7Bmonth%7D/%7Brandname%7Dimage-20250319221834890.png" alt="圆形活塞" title="圆形活塞" style="">将每个小面元看做点声源，其在p点的声压就是整个圆面的点声源声压的积分。根据之前的球面声场：假设Q为声源强度（体积速度）为：$Q=u_a S$，可知小面元的声源强度为：$dQ_0=u_adS$。对于图中声源到观测点的距离为h，故半空间点声源的声压为：$p=j\frac{\rho_0C_0kQ}{2\pi h}e^{j(wt-kh)}$，对于小面元则为：$dp=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi h}dQ_0e^{j(wt-kh)}$。P点为观察点，位于xoz平面内。<h2>远场</h2>对于远场，由于r&gt;&gt;a，a就是图中的$\sigma $。可推导出h的近似值。根据三维空间向量计算公式，x、y、z轴的单位向量为：$\overrightarrow{i} ,\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$，则可得：$\overrightarrow{r} =|r|(cos\theta \overrightarrow{k}+sin\theta \overrightarrow{i})$$\overrightarrow{\sigma } =|\sigma |(cos\varphi \overrightarrow{i}+sin\varphi \overrightarrow{j})$$\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{\sigma }=|r|(cos\theta \overrightarrow{k}+sin\theta \overrightarrow{i})\times |\sigma |(cos\varphi \overrightarrow{i}+sin\varphi \overrightarrow{j})=|r||\sigma| (sin\theta cos\varphi )$则h为:$\overrightarrow{h} =\overrightarrow{r} -\overrightarrow{\sigma } $$|h|=\sqrt{r^2+\sigma^2-2\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{\sigma }}=\sqrt{r^2+\sigma^2-2|r||\sigma| (sin\theta cos\varphi )}=r\sqrt{1+\frac{\sigma^2}{r^2}-\frac{2 \sigma}{r}sin\theta cos\varphi}$由于r&gt;&gt;a（或者σ），故$\frac{\sigma^2}{r^2} \approx 0$，所以：$|h|=r\sqrt{1-\frac{2 \sigma}{r}sin\theta cos\varphi}$对后式子进行泰勒展开，比如$(1+x)^n=1+nx+...$，当|x|&lt;&lt;1时可以忽略二阶项，故上式为：$|h|=r(1-\frac{1}{2}\frac{2 \sigma}{r}sin\theta cos\varphi)=r-\sigma sin\theta cos\varphi$对dp进行积分可得p点的声压为：$p=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi h}\int dQ_0e^{j(wt-kh)}=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi h} \int u_a dS e^{j(wt-kh)}=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi h} u_a e^{j(wt-kh)} \int dS $其中在远场$h\approx r$，故分母的h可以换成r，但是e的不能直接换。则为：$p=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi r} u_a e^{j(wt-kh)} \int dS =j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi r} u_a e^{j(wt-kr+k\sigma sin\theta cos\varphi)} \int dS=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi r} u_a e^{j(wt-kr)} \int e^{k\sigma sin\theta cos\varphi}dS$环形圆弧的周长为:$\int dl=\int \sigma d \varphi$环形圆弧的面积微分为:$dS=d\sigma \int dl=d\sigma \int\sigma d\varphi$则p为：$p=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi r} u_a e^{j(wt-kr)} \int e^{jk\sigma sin\theta cos\varphi}dS=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi r} u_a e^{j(wt-kr)} \int e^{jk\sigma sin\theta cos\varphi}d\sigma \int\sigma d\varphi$最终为：$p=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi r} u_a e^{j(wt-kr)} \int \sigma d\sigma \int e^{jk\sigma sin\theta cos\varphi}d\varphi$，其中σ的积分范围为0~a，φ的范围为0~2π。根据贝塞尔函数可知：$J_0(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} e^{jxcos \varphi}d \varphi $$\int x J_0(x)dx=xJ_1(x)$则上式中$\int e^{jk\sigma sin\theta cos\varphi}d\varphi$改为贝塞尔函数，其中$x=k\sigma sin \theta$，代入为：$J_0(k \sigma sin \theta)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} e^{jk \sigma sin \theta cos \varphi}d \varphi$则 $dx=k\sin\theta d\sigma$ ，$\sigma=\frac{x}{k\sin\theta}$当 $\sigma = 0$时，$u = 0$ ；当 $\sigma = a$ 时，$u = ka\sin\theta$，则$2\pi\int_{0}^{a}\sigma J_0(k\sigma\sin\theta)d\sigma=2\pi\int_{0}^{ka\sin\theta}\frac{x}{k\sin\theta}J_0(x)\frac{dx}{k\sin\theta}=\frac{2\pi}{k^{2}\sin^{2}\theta}\int_{0}^{ka\sin\theta}xJ_0(x)dx$由 $\int xJ_0(x)dx = xJ_1(x)$ 可得：$\frac{2\pi}{k^{2}\sin^{2}\theta}\int_{0}^{ka\sin\theta}xJ_0(x)dx=\frac{2\pi}{k^{2}\sin^{2}\theta}\left[xJ_1(x)\right]_0^{ka\sin\theta}=\frac{2\pi}{k^{2}\sin^{2}\theta}\times ka\sin\theta J_1(ka\sin\theta)=\frac{2\pi a}{k\sin\theta}J_1(ka\sin\theta)$于是声压变为：$p=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi r} u_a e^{j(wt-kr)} \int \sigma d\sigma \int e^{jk\sigma sin\theta cos\varphi}d\varphi=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi r} u_a e^{j(wt-kr)}\frac{2\pi a}{k\sin\theta}J_1(ka\sin\theta)$$p= j\frac{\rho_0C_0ka^2}{2 r} u_a e^{j(wt-kr)}\frac{2J_1(ka\sin\theta)}{ka\sin\theta}$其中，$k=\frac{2\pi}{\lambda},c=\lambda f,w=2\pi f$，推导出$ck=2\pi f=w$，代入上式为：$p= j\frac{\rho_0wa^2}{2 r} u_a e^{j(wt-kr)}\frac{2J_1(ka\sin\theta)}{ka\sin\theta}=jw\frac{\rho_0u_aa^2}{2 r} [\frac{2J_1(ka\sin\theta)}{ka\sin\theta}]e^{j(wt-kr)}$对于圆面活塞，面积为$S=\pi a^2$，则$Q=u_a S=u_a \pi a^2$，代入上式则为：$p=jw\frac{\rho_0Q}{2 \pi r} [\frac{2J_1(ka\sin\theta)}{ka\sin\theta}]e^{j(wt-kr)}$径向速度为：$v_r=-\frac{1}{jw\rho_0}\frac{\partial p}{\partial r}$其中p对r的偏导为：$\frac{\partial p}{\partial r}=\frac{\partial A \frac{e^{j(wt-kr)}}{r}}{\partial r}$，A表示其他不与r相关的式子。求得：$\frac{\partial p}{\partial r}=Ae^{jwt}\frac{\partial \frac{e^{-jkr}}{r}}{\partial r}=Ae^{jwt}[-jke^{-jkr}\frac{1}{r}+e^{-jkr}\frac{-1}{r^2}=-A\frac{e^{j(wt-kr)}}{r}[jk+\frac{1}{r}]=-p[jk+\frac{1}{r}]$$v_r=-\frac{1}{jw\rho_0}-p[jk+\frac{1}{r}]=-\frac{1}{jC_0k\rho_0}-p[jk+\frac{1}{r}]=\frac{1}{C_0\rho_0}[1+\frac{1}{jkr}]p$法向声强为：$I=\frac{1}{T}\int_0^{T}Re_p Re_{v_r}dt=\frac{1}{8}\rho_0c_0u_a^2(ka)^2\frac{a^2}{r^2}[\frac{2J_1(kasin\theta)}{kasin\theta}]^2$<h3>指向性</h3>定义为：保持场点与声源的距离不变，任意$\theta$方向的场点声压幅值与这个距离上最大声压幅值之比。$D(\theta)=\frac{P_a(\theta)}{P_a(\theta)|_{\theta=0}}$θ=0时，$\frac{J_1(0)}{0}=\frac{1}{2}$，则上式为：$D(\theta)=|\frac{\frac{2J_1(ka\sin\theta)}{ka\sin\theta}}{1}|=|\frac{2J_1(ka\sin\theta)}{ka\sin\theta}|$当ka&lt;1时，x趋近于0，D(θ)趋近于1，则$p=\frac{jw\rho_0Q}{2\pi r}e^{j(wt-kr)}$，任意方向的声压幅值相同，说明辐射是均匀的，指向性为一个圆。声强为$I=\frac{1}{8}\rho_0c_0u_a^2(ka)^2\frac{a^2}{r^2}$指向性的代码如下所示<a href="#fn-1" class="footnote-ref">1</a>。<pre><code class="lang-python">import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import j1 # 导入一阶贝塞尔函数

def calculate_D(ka_product, start=-np.pi/2, stop=np.pi/2, num=1000):
    &quot;&quot;&quot;计算指向性函数
    参数：
        ka_product: k和a的乘积
        start: 起始角度（默认0.0001避免除零）
        stop: 终止角度（默认π）
        num: 采样点数
    返回：
        theta数组和D数组
    &quot;&quot;&quot;
    theta = np.linspace(start, stop, num)  # 生成角度数组
    numerator = (2 * j1(ka_product * np.sin(theta)))  # 分子保持不变
    denominator = ka_product * np.sin(theta)
    return theta, (numerator / denominator)  # 返回计算结果

# 绘图
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='polar')  # 创建极坐标轴
theta, D = calculate_D(ka_product=3) 
D = np.abs(D)
ax.plot(theta, D)                             # 在极坐标中绘制
ax.set_xlabel(r'$\theta$')                    # 角度轴标签
ax.set_title(r'ka=1',loc='left')     # 更新标题
ax.grid(True)
plt.show()

# 绘图
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(12, 12),  # 新增figsize参数调整整体尺寸
                        subplot_kw={'projection': 'polar'})
ka_values = [1, 3, 4, 10]

for ax, ka in zip(axes.ravel(), ka_values):
    theta, D = calculate_D(ka_product=ka)
    D = np.abs(D)
    ax.plot(theta, D)
    ax.set_title(f'ka={ka}', pad=15,loc='left')  # 新增loc参数设置标题位置
    ax.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

# 新增笛卡尔坐标系绘图
plt.figure(figsize=(8, 6))  # 新建画布
for ka in ka_values:
    theta, D = calculate_D(ka_product=10,start=0.0001,stop=np.pi*2,num=1000)
    x = np.abs(ka * np.sin(theta))
    plt.plot(x, D, label=f'ka={ka}')
   
    # 新增过零点检测
    zero_crossings = np.where(np.diff(np.sign(D)))[0]  # 检测符号变化点
    if len(zero_crossings) &gt; 0:
        x_zeros = x[zero_crossings] + np.diff(x)[zero_crossings] * (-D[zero_crossings]/(D[zero_crossings+1] - D[zero_crossings]))
        plt.scatter(x_zeros, np.zeros_like(x_zeros), color='red', marker='x', s=50, zorder=5, label='Zero Crossing')
        
        # 新增数值标注
        for xz in x_zeros:
            plt.text(xz, -0.05, f'{xz:.2f}',  # 向下偏移0.05避免重叠
                    ha='center', va='top', 
                    rotation=45, fontsize=8,
                    color='red')

# 添加图例去重处理
handles, labels = plt.gca().get_legend_handles_labels()
by_label = dict(zip(labels, handles))
plt.xlabel(r'kasin($\theta$)')
plt.ylabel(r'$\frac{2J_1(kasin(\theta))}{kasin(\theta)}$', rotation=0)
plt.legend(by_label.values(), by_label.keys())
plt.grid(True) 
plt.tight_layout()
plt.show()
</code></pre><img src="https://mythidea.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/usr/uploads/image-20250503104539984.png" alt="" title="" style=""><img src="https://mythidea.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/usr/uploads/image-20250503111056227.png" alt="ka=10" title="ka=10" style="">ka=10，表示：$ka=\frac{2\pi}{\lambda}a=10$，即$a=1.6\lambda$。半径越大，主极的夹角越小，指向性越强。<h2>近场</h2>近场研究的是中心轴上的声场，即x轴。观察点P在x轴上，不再是xoz平面上。则θ=0。远场针对h做了近似。$|h|=\sqrt{r^2+\sigma^2-2\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{\sigma }}=\sqrt{r^2+\sigma^2-2|r||\sigma| (sin\theta cos\varphi )}=r\sqrt{1+\frac{\sigma^2}{r^2}-\frac{2 \sigma}{r}sin\theta cos\varphi}$由于r&gt;&gt;a（或者σ），故$\frac{\sigma^2}{r^2} \approx 0$，所以：$|h|=r\sqrt{1-\frac{2 \sigma}{r}sin\theta cos\varphi}$近场时，r不是远大于a，使用z表示r。由于θ=0，上式变为：$|h|=\sqrt{z^2+\sigma^2-2\overrightarrow{z} \times \overrightarrow{\sigma }}=\sqrt{z^2+\sigma^2-2|z||\sigma| (sin\theta cos\varphi )}=\sqrt{z^2+\sigma^2}$对于活塞上所取的环元$\sigma$到$\sigma+d\sigma$，由于$d\sigma&lt;&lt;\sigma$，故可以认为环元上所有点到观测点P的距离基本一样，即|h|一样。对dp进行积分可得p点的声压为：$p=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi h}\int dQ_0e^{j(wt-kh)}=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi h} \int u_a dS e^{j(wt-kh)}=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi h} u_a e^{j(wt-kh)} \int dS $环元面积为：$dS=d\sigma \int dl=d\sigma \int\sigma d\varphi=\sigma d\sigma \int d\varphi=\sigma d\sigma 2\pi=2\pi\sigma d\sigma$$p=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi h} u_a e^{j(wt-kh)}\int_0^{a} 2\pi\sigma d\sigma$由于$h^2=z^2+\sigma^2$，则$\frac{\partial h^2}{\partial \sigma}=2\sigma$$\frac{\partial h^2}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial \sigma}=2\sigma$$2h\partial h=2\sigma\partial \sigma$推导出：$dS=2\pi\sigma d\sigma=2\pi h\partial h$σ=0时，h=z；σ=a时，h=R=$\sqrt{z^2+a^2}$故p为：$p=j\frac{\rho_0C_0k}{2\pi h} u_a e^{j(wt-kh)}\int_0^{a} 2\pi\sigma d\sigma=j\rho_0C_0ku_ae^{jwt}\int_z^Re^{-jkh}dh$$p=j\rho_0C_0ku_ae^{jwt}[\frac{1}{-jk}e^{-jkh}|_z^R]=-\rho_0C_0u_ae^{jwt}[e^{-jkR}-e^{-jkz}]=-\rho_0C_0u_ae^{jwt}e^{-jk\frac{z+R}{z}}[e^{jk\frac{z-R}{2}}-e^{-jk\frac{z-R}{2}}]$根据sin的欧拉公式：$sin\theta=\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j}=-j\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2}=-e^{j\frac{\pi}{2}}\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2}$，最终推导p为：$p=2\rho_0C_0u_a sin(k\frac{R-z}{2})e^{j(wt-k\frac{R+z}{2}+\frac{\pi}{2})}$当z很小时，在$k\frac{R-z}{2}=n\pi$时，p=0；在$k\frac{R-z}{2}=n\pi+\frac{\pi}{2}$时，p最大。$R-z=\sqrt{z^2+a^2}-z=z[\sqrt{1+\frac{a^2}{z^2}}-1]$当z&gt;2a时，通过特勒展开，得到$\sqrt{1+(\frac{a}{z})^2}=1+\frac{1}{2}(\frac{a}{z})^2$，上式变为：$R-z=z[\sqrt{1+\frac{a^2}{z^2}}-1]=z[\frac{1}{2}(\frac{a}{z})^2]=\frac{a^2}{2z}$则$sin(k\frac{R-z}{2})=sin(\frac{2\pi}{\lambda}\frac{a^2}{4z})=sin(\frac{\pi}{2}\frac{a^2}{\lambda z})$设定$z_g=\frac{a^2}{\lambda}$，上式为：$sin(\frac{\pi}{2}\frac{z_g}{z})$在z=zg位置，幅值最大；z&gt;zg后不再有极大值。z&gt;2a时的轴声压为：$p=2\rho_0C_0u_a sin(\frac{\pi}{2}\frac{a^2}{\lambda z})e^{j(wt-k\frac{R+z}{2}+\frac{\pi}{2})}=2\rho_0C_0u_a sin(\frac{\pi}{2}\frac{z_g}{ z})e^{j(wt-k\frac{R+z}{2}+\frac{\pi}{2})}$$z_g=\frac{a^2}{\lambda}$为从近场过渡到远场的临界点，其值为临界距离。其中a为活塞半径，也称为孔径。如果是环状的则是内外半径的平方差。可见活塞半径越大，临界距离越大。<h2>Reference</h2><div class="footnotes"><hr><ol><li id="fn-1"> <a class="no-external-link" href="https://deepnote.com/app/mythbird/Welcome-4c99b3cb-218f-42aa-bb17-592904229bd7?utm_source=app-settings&utm_medium=product-shared-content&utm_campaign=data-app&utm_content=4c99b3cb-218f-42aa-bb17-592904229bd7" target="_blank">Notebook</a> <a href="#fnref-1" class="footnote-backref">&#8617;</a></li></ol></div>

超声——圆形活塞声场

远场

指向性

近场

Reference

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超声——圆形活塞声场

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