AI摘要：本文介绍了如何通过动力学方程、连续性方程和物态方程推导出声波的波动方程。首先，动力学方程描述了流体体积元在声压作用下的运动，连续性方程描述了流体质量守恒，物态方程则描述了声波过程中的绝热关系。通过这些方程的推导和联立，我们可以得到声波的一维波动方程，即声压和密度的变化遵循波动方程。
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超声——声波波动方程推导
根据3个物理学方程可以推导出声波的波动方程：
- 动力学方程
- 连续性方程
- 物态方程
假设前提：
- 介质为理想流体，无粘滞和热传导导致热损耗
- 无声波时介质静止不动，宏观上均匀。静压P0，静密度ρ0
- 声波传播过程是绝热，无热交换
- 介质中声波是小振幅声波
动力学方程
其又称运动方程，或者牛顿第二定律。
假设模型如上图所示。
一个流体体积元截面积为S，因为声压p导致流体流动，流到距离为dx，则流动体积为$Sdx$。流体从x到x+dx，声压是不同的，故p与x有关，即$p∝x$。
x处压力与x+dx压力不相等，这导致了流体的运动。前后所受的力是压强与面积的积。
$F_1=(P_0 + p)S$
$F_2=(P_0 + p + dp)S$
该流体的质量为$ρSdx$ ，根据牛顿第二定律：$F=ma^2$。加速度为：$a = \frac{dv}{dt}$，则有
$ρSdx\frac{dv}{dt}=F_1 - F_2=-Sdp$
$ρdx\frac{dv}{dt}=-dp$
增加的dp为p对x的偏微分：$dp=\frac{\partial{p}}{\partial{x}}dx $
联合后为：
$ρdx\frac{dv}{dt}=-dp=-\frac{\partial{p}}{\partial{x}}dx $
化简后为：
$ρ\frac{dv}{dt}=-\frac{\partial{p}}{\partial{x}}$
这里其实已经推导出来，但是严格的说，ρ仍是个变量为$\rho_0+\rho^{'}=\rho_0+d\rho$，$\rho^{'}$相当于密度增量$d\rho$，而且速度是与x和t同时相关的变量。则上式子为：
$(\rho_0 +\rho ^{'} )(\frac{\partial v }{\partial t }+v\frac{\partial v }{\partial x } )=-\frac{\partial p}{\partial x} $
由于是小振幅声波，故二次量可以忽略。最终为：
$\rho_0 \frac{\partial v }{\partial t}=-\frac{\partial p}{\partial x} $
连续性方程
其又称质量守恒定理，即单位时间内流体流入和流出的质量差等于流体内的质量变化。
流入的流体体积为高度乘以面积（圆柱体）：$(\rho v)_x$
流出的则为：$(\rho v)_{x+dx}$
质量为密度乘以体积，故流入和流出的质量差为：$(\rho v)_x S-(\rho v)_{x+dx}S$
因为质量的流入和流出导致了密度的变化，密度是在单位时间内变化的，故根据密度和距离x的变化可以计算出质量的变化：
$\frac{d\rho}{dt}Sdx=(\rho v)_x S-(\rho v)_{x+dx}S$
$\frac{d\rho}{dt}dx=(\rho v)_x -(\rho v)_{x+dx}$
根据泰勒展开$(\rho v)_{x+dx}=(\rho v)_x+ \frac{\partial \rho v }{\partial x}dx$
得到$-\frac{\partial \rho v }{\partial x}dx=\frac{d\rho}{dt}dx$
最终为：
$-\frac{\partial \rho v }{\partial x}=\frac{d\rho}{dt}$
同样，严格的说ρ仍是个变量为$\rho_0+\rho^{'}=\rho_0+d\rho$，$\rho^{'}$相当于密度增量$d\rho$，代入后为：
$\frac{\partial (\rho_0 + \rho^{'}) v }{\partial x}=-\frac{\partial (\rho_0 + \rho^{'})}{\partial t} $
$\frac{\partial (\rho_0 + \rho^{'}) v }{\partial x}=v\frac{\partial (\rho_0+\rho^{'} ) }{\partial x } +(\rho_0+\rho^{'})\frac{\partial v }{\partial x } $
$v\frac{\partial \rho_0 }{\partial x } +v\frac{\partial\rho^{'}}{\partial x } +\rho_0\frac{\partial v }{\partial x } +\rho^{'}\frac{\partial v }{\partial x }$
$\rho_0$为常数，偏微分为0。忽略掉二阶项。则为：
$\rho_0\frac{\partial v }{\partial x }=-\frac{\partial \rho^{'}}{\partial t}$
物态方程
又称为热力学第一定律。同时考虑到声波过程进程比较快，体积压缩和膨胀过程的时间要比热传导需要的时间短很多，故认为声波过程中时绝热过程。
绝热过程中Q=0，即外界传递给系统的能量为0。
根据热力学第一定律：
$A = U_2 - U_1=\int_{T_1}^{T_2}C_vdT $
A：外界对系统做的功
U2：初态内能
U1：末态内能
Cv：定体热容（指在体积保持不变的条件下，系统吸收或放出的热量与温度变化量的比值）
T：温度
根据玻意耳定律（Boyle's law）：在定量定温下，理想气体的体积与气体的压强成反比。
其数学表达式为$pV=C_1$（p为压强，V为体积，C1为常数）。
根据查理定律：一定质量的气体，在体积保持不变时，压强与热力学温度成正比。
其数学表达式为$p=C_2T$（C2为常数，与气体的物质的量、体积有关）。
根据盖-吕萨克定律：一定质量的气体，在压强保持不变时，其体积与热力学温度成正比。
其数学表达式为$V=C_3T$（C3为常数，与气体的物质的量、压强有关）。
结合3个定律可得：$\frac{pV}{T}=C$，C为常数。
根据阿伏伽德罗定律（Avogadro's law）：在相同的温度和压强下，相同体积的任何气体都含有相同数目的分子，即气体的物质的量与体积成正比。
在T0=273.15K、p0=1atm状态下，1mol的任何其他所占的体积为摩尔体积，1mol体积为w0=22.41410L/mol。假设气体的摩尔质量为M，气体的质量为m，则摩尔数为：$\vartheta =\frac{m}{M}=6.02 \times 10^{23} mol$。其体积为：$V_0 = \vartheta w_0 $。在T0时的方程如下：
$\frac{pV}{T}=\frac{p_0 \vartheta w_0}{T_0}=\vartheta R$
故理想气体的物态方程为：$pV=\vartheta R T$，其中R=8.31451 J/(mol*K)。
对物态方程进行对温度T的微分：$p\frac{dV}{dT}+V\frac{dp}{dT}=\vartheta R$
考虑如下的封闭活塞运动，压力f对气体做功，将活塞移动$\Delta l$的距离。
则所做的功为：$\Delta A=f\Delta l=-pS\Delta l=-p\Delta V$，压强是反向于f，故压力是反向于f。
对齐求积分可得：$A=-\int pdV$
当然，根据准静态过程的热力学第一定律：$\Delta U=U_2-U_1=Q-\int_{1}^{2} pdV$，由于绝热过程的Q=0，也能得到上式。
则可以得到两个式子：
$\frac{dA}{dV}=-p$
$\frac{dA}{dT}=C_v$
联立可得：$-\frac{p}{C_v}=\frac{dT}{dV}$
代入物态方程为：
$-p\frac{C_v}{p}+V\frac{dp}{-\frac{p}{C_v}dV}=\vartheta R$
$\frac{\vartheta R+C_v}{C_v}=-\frac{V}{p}\frac{dV}{dp}$
其中：$C_p=\vartheta R+C_v$，表示定压热容。可改写为：
$\gamma =\frac{C_p}{C_v}=-\frac{V}{p}\frac{dV}{dp}$
$\frac{dp}{p}=-\gamma \frac{dV}{V}$
上式对T求积分可得：$lnp+\gamma lnV=C$，即$pV^{\gamma}=C$，该式子称为泊松公式。
$\rho_0 \frac{\partial v }{\partial t}=-\frac{\partial p}{\partial x} $对x求偏微分为：$\rho _0 \frac{\partial^2 y}{\partial t\partial x}=- \frac{\partial^2 p}{\partial^2x} $
$\rho_0\frac{\partial v }{\partial x }=-\frac{\partial \rho^{'}}{\partial t}$对t求偏微分为：$\rho _0 \frac{\partial^2 y}{\partial x\partial t}=- \frac{\partial^2 \rho^{'}}{\partial^2t} $
则上式两边相等，得到：$\frac{\partial^2 p}{\partial^2x} =\frac{\partial^2 \rho^{'}}{\partial^2t} $
由于声波是绝热的，可以认为压强仅与密度相关，即压强与ρ有关，则有$\frac{\partial p}{\partial x}= \frac{\partial p}{\partial \rho} \frac{\partial \rho}{\partial x}=C_s^2\frac{\partial \rho}{\partial x}$。其中Cs为常数，为声速。
同时有$\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}= \frac{\partial p}{\partial \rho} \frac{\partial^2 \rho}{\partial x^2}+\frac{\partial \rho}{\partial x}\frac{\partial (\frac{\partial p}{\partial \rho})}{\partial x}=\frac{\partial p}{\partial \rho} \frac{\partial^2 \rho}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 \rho^{'}}{\partial^2t}=C_s\frac{\partial^2 \rho}{\partial x^2}$，该式子为一维波动方程。
将$\frac{\partial \rho}{\partial x}=\frac{1}{C_s^2}\frac{\partial p}{\partial x}$代入，则可得到：$\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}=\frac{1}{C_s^2}\frac{\partial^2 p}{\partial^2t}$，该式子也为一维波动方程。
