AI摘要：本文介绍了晶振的等效模型、振荡原理以及5倍频率的来源。首先，晶振的等效模型包括并联电容C0、振荡电感Lm、振荡电容Cm和振荡电阻Rm。通过Python编程，可以模拟晶振的阻抗和频率响应。其次，晶振的振荡原理需要晶振处于电感区，与外部电容形成LC振荡，提供180°相移。最后，5倍频率的来源与晶振的负阻抗和增益有关，需要在特定的增益范围内才能稳定起振。文章还提供了相关参考文献，供读者深入了解。
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晶振仿真
有关晶振的说明比较多，EPSON的官网说明的比较全EPSON,对此不作具体说明，文后会提供参考文档
晶振的等效模型
石英晶体的等效模型如下图所示。
- C0：代表电极引入的并联电容
- Lm：（振荡电感）代表晶体的振荡量
- Cm：（振荡电容）代表晶体的振荡弹性
- Rm：（振荡电阻）代表电流损耗
晶体的阻抗计算如下图所示。
以上公式忽略了Rm的作用，在以下程序中并未忽略该参数。
from scipy import signal
import numpy as np
from pylab import *
import matplotlib.pyplot as plt
""" 32768Hz osc """
Rm = 90e3
Lm = 3.932e3
Cm = 6e-15
Co = 1.2e-12
system = signal.lti([Lm/Co, Rm/Co, 1/(Co*Cm)], [Lm, Rm, (1/Co+1/Cm), 0])
#w1, Hw = signal.freqs([Lm/Co, Rm/Co, 1/(Co*Cm)],
# [Lm, Rm, (1/Co+1/Cm), 0], worN=np.logspace(-3, 9, 1000))
f = np.logspace(1, 6, 1000000)#尤其注意此处1000000表示从10e1到10e6细分的点数，越大越好，太小会导致失真
w, mag, phase = signal.bode(system, 2*np.pi*f)
plt.subplot(212)
plt.grid()
plt.semilogx(f, phase, 'g', label='phase')
plt.legend()
plt.subplot(211)
plt.grid()
#plt.semilogx(w1/(2*np.pi), Hw, 'r', label='mag')
plt.semilogx(f, mag, 'r', label='mag')
plt.legend()
plt.show()
结果如下图所示。
结果跟阻抗曲线类似。
可见在32768Hz左右出现180°的相位变化和幅度上的翻转。
在pspice中，晶振的模型也是按照上面的电路进行组合。以其中的FC1610AN为例子，在pspice model中描述如上下。
* 32768 hertz watch crystal, XY cut, series resonant, Q=81780
*
.subckt FC1610AN 1 2
*
lqz 1 11 lmod 3.932e3
.model lmod ind(tc2 = 8.68e-8)
cs 11 12 6.0e-15
rqz 12 2 90e3
cp 1 2 1.2e-12
.ends
*$
解读上面的spice语言。
FC1610AN子电路模型有1、2两个管脚。模型实现为：
lqz使用lmod模型（温度系数为TC2），电感为3932H，管脚为1、11。
cs为0.006pF，管脚为11、12。
rqz为90k，管脚为12、2。
cp为1.2pF，管脚为1、2。
最终模型参数如下图所示。
使用PMOS和NMOS搭建的CMOS电路对以上模型进行仿真，电路图和仿真结果如下图所示。
等效ESR
根据晶振模型，可知标称频率为振荡电感和振荡电容的谐振频率，而由于并联电容的等效阻抗很高，故可以等效为晶振在振荡谐振时的阻抗为振荡电阻的大小（ESR)。
以上晶振为例，晶振的谐振阻抗在100dB左右（因为此时阻抗急剧变化，并出现180°相位差），此时阻抗为100k与rqz（90k）接近。即模型中的rqz为ESR。
根据曲线可知晶体工作在并联谐振状态下，其表现像一个电感（为前半部分曲线）。谐振阻抗为130dB-110dB之间，约为3.2M~0.32M。若反馈电阻取1M、5M、10M，则仿真波形如下图所示。
结果显示1M和5M均没起振，而10M起振。可见反馈电阻的取值需要几十倍~几百倍于晶振的谐振阻抗ESR才行。
ESR值是一个机械晶振振荡损耗的电气表示。一个较大的晶振在振荡期间损耗较小，这将导致一个较低的ESR值。小型晶振，特别是表面贴装器件(SMD)晶振，往往有较高的ESR。一个较高的ESR值反映出一个晶振的较高损耗。如果ESR太高，振荡器就会变得不稳定并停止振荡。因此，每一个振荡器有ESR值的最大限值。ESR值比建议的最大值越低，那么振荡器启动和稳定性就越好。
在起振期间，噪声将在反相放大器中放大。晶振将充当带通滤波器并且仅反馈将被放大的晶振谐振频率分量。在实现稳态振荡之前，晶振/反相放大器环路的环路增益大于1，信号幅值将增大。达到稳态时，环路增益将满足巴克豪森准则，环路增益为1，幅值恒定。影响起振时间的因素：高ESR晶振的起振速度慢于低ESR晶振高Q因数晶振的起振速度慢于低Q因数晶振高负载电容会增加起振时间振荡器放大器驱动能力。此外，晶振频率也会影响起振时间（晶振频率越高，起振就越快），但对于32kHz晶振，此参数固定。
仿真1MHz的晶振，其参数如下所示。
* - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
* 1Mhz frequency standard, AT cut, parallel resonant, Q=25000,
* calibration capacitance = 1n
.subckt QZP1MEG 1 2
*
lqz 1 11 2.54647909
cs 11 12 9.95357648e-015
*vsin 12 3 SIN 0 1k 1meg 0.1n 1e6 0
rqz 12 2 640
cp 1 2 2.48839412e-012
.ends
*$可知ESR约为640R。仿真结果如下图所示。
起振时间明显快于32768。
振荡原理
不论串联振荡还是并联振荡，晶振都需要处于电感区，才可以与外部电容形成LC振荡，并提供180°的相移，同时加上反相器的180°，总计360°。
简化的皮尔斯振荡器如下图所示。
由于RC无法提供90°相移，故只有当晶振处于电感状态时，才能提供大于90°的相移。
使用上图进行仿真分析，结果如下图所示。
三段分别为75.16、104.273、180，变化和为359.433近似为360。
5倍来源
根据E.Vittoz阁老的分析如下图所示。-Rmax为最大负阻，而一般C1=C2，则-Rmax=-1/2wC3(1+2C3)，晶振稳定起振gm不能太大或太小，其介于Gmcrit和Gmmax之间，即下图中的A、B两点。
根据上图可知，QC/C3>2(1+2C3/C1)，由于C3 << C1，故QC/C3>2，则gmmax/gmcrit>41。